Simplificação de denominadores diferentes

Este é o terceiro texto da série sobre fórmulas de compasso com denominadores diferentes. Desta vez não descreverei o comportamento de um número específico. Tentarei mostrar como é possível "simplificar" as fórmulas de um determinado trecho a fim de que não seja necessário recorrer a uma fórmula "diferente" (tenho evitado a designação "irregular").

Tomemos como exemplo um trecho em que, ao lado de fórmulas com denominadores convencionais (4, 2 e 1, neste caso), aparece um compasso com a fórmula 5/6:



Sendo 6 o denominador é possível ajustarmos todas as outras fórmulas de modo que este 5/6 se transforme num simples 5/4. Isto porque a relação do número 6 com o número 4 é muito "próxima" (ainda que mais "distante" que a de seus múltiplos autênticos), bastando uma multiplicação ou divisão por 1,5 para se chegar de um ao outro.

Portanto, vemos que a relação entre 5/6 e 5/4 se obtém da mesma forma: multiplicação ou divisão por 1,5 - ou três meios (3/2). Multiplicam-se, então, todas as fórmulas por 3/2, num procedimento que nada mais é do que transformar os compassos simples em compostos. Obtém-se, então, a seguinte escrita:



A multiplicação por 3/2 produziu os seguintes resultados:

5/4 tornou-se 15/8
5/6 tornou-se 5/4
4/4 tornou-se 12/8
3/2 tornou-se 9/4
9/4 tornou-se 27/8
3/1 tornou-se 9/2

Clique aqui para ouvir o trecho.

Multiplicar uma fórmula significa torná-la mais complexa, mesmo que seja um pouco. É o preço de tentar transformar, por exemplo, um 5/6 em algo mais simples.

Poderíamos imaginar, então, o que aconteceria se introduzíssemos, nessa segunda notação do trecho acima, um 5/6. Teríamos então que multiplicar tudo por 3/2 outra vez, o que nos daria fórmulas ainda mais difíceis, embora legíveis e possíveis. Eis, então, um segundo trecho, semelhante à segunda versão do primeiro, mas ao qual se adicionou um 5/6.



Aplicado o mesmo procedimento que mostrei acima, temos o seguinte:



15/8 tornou-se 45/16
5/4 tornou-se 15/8
5/6 tornou-se 5/4
12/8 tornou-se 36/16
9/4 tornou-se 27/8
27/8 tornou-se 81/16
9/2 tornou-se 27/4

Além disto, vemos também que em vários compassos temos um "pulso" que vale nove semicolcheias, cuja notação mais simples talvez seja a que adotei aqui: uma mínima ligada a uma semicolcheia.

Clique aqui para ouvir o trecho.